Ezúttal egy kis nyári fejtörőt hoztunk nektek, amelyre létezik egyértelmű matematikai megoldás

Egy televízió showban az egyik feladat az, hogy a versenyzőnek ki kell választani a három ajtó közül egyet és a nyereménye az, amit az ajtó rejt. Az egyik ajtó mögött egy sportkocsi van, a másik két ajtó mögött pedig 1-1 kecske. A versenyző választ egy ajtót, majd ezután a műsorvezető kinyit egy olyan ajtót, ami mögött kecske van. Ezek után a műsorvezető megkérdezi a játékost, hogy kitart-e az eredeti választása mellett, vagy átvált a másik ajtóra. Te mit tennél a versenyző helyében? Van értelme váltani? A választ természetesen megtalálod lentebb!

A fenti problémát, a műsorvezető után elnevezve, Monty Hall-paraxodonnak hívják és az a helyes válasz, hogy mindenképpen váltani kell a másik ajtóra. Ez nem azért paradoxon, mert nincs megoldása, hanem ezért mert sok embert teljesen megtéveszt a probléma. Hogyan kell helyesen megközelíteni a feladatot?

Azt nem tudjuk megmondani, hogy egy-egy játékos esetében mi a helyes döntés, de a valószínűségszámítás segítségével megmondható, hogy milyen döntés esetén nyer legnagyobb valószínűséggel a játékos.

Abban kiegyezhetünk, hogy kezdetben a játékos 1 a 3-hoz valószínűséggel választja ki a 3 ajtó közül azt, ami mögött a versenyautó van és 2 a 3-hoz valószínűséggel választ olyan ajtót, ami mögött kecske van. Ezután a műsorvezető egy olyan ajtót nyit ki, ami mögött tudja, hogy kecske van. A kérdés, hogy ezek után mekkora eséllyel van a játékos által kiválasztott ajtó mögött a versenyautó és mekkora eséllyel van a másik megmaradt ajtó mögött.

Ilyenkor már csak 2 ajtó van, azaz 50-50% az esély, hogy mögöttük van az autó, ugye? Ez az, ami nem igaz. Hogyha a játékos eredetileg is két ajtó közül választ, akkor 50%-os esélye van a jó ajtó kiválasztására, de most nem csak két ajtó van, hanem még egy kis plusz információ is, ami megváltoztatja a feladatot.

A játékos kiválasztott egy ajtót, ami mögött 33%-os eséllyel ott van az autó. Ha kitart a versenyző a döntése mellett és nem vált ajtót, akkor 33% marad az esélye arra, hogy nyerjen. Akár a játékos ajtaja mögött van a nyeremény, akár nem, a műsorvezető egy olyan ajtót nyit ki, ami mögött biztosan nem az áhított nyeremény van. Ezzel nem módosulnak az eredeti esélyek. Ugyanúgy 1/3 eséllyel van a versenyző ajtaja mögött az autó és 2/3 eséllyel van a másik két ajtó mögött a nyeremény. Az a különbség az ajtó kinyitása után, hogy tudjuk, hogy a 2/3 eséllyel nyereményt tartalmazó két ajtó közül melyikben nincs az autó. Ezzel a két nem kiválasztott ajtó közül a nem kinyitott „megörökli” a másik ajtó győzelmi esélyét.

Amikor a játékos ajtót vált, akkor úgy dönt, hogy nem az eredeti egy ajtót választja, hanem a másik opciót, ami tulajdonképpen két ajtóból áll, csak ebből az opcióból az egyik ajtó már nyitva van a váltáskor. Így olyan mintha két ajtót választana egyszerre a váltáskor. Ha vált a játékos, akkor 2 a 3-hoz eséllyel nyer, ha nem vált, akkor pedig 1 a 3-hoz eséllyel nyer. Mindenképp megéri váltani!

Fontos leszögezni, hogy a fenti gondolatmenet lényeges feltétele az, hogy a műsorvezető tudja azt, hogy mi van az ajtók mögött. Mindenképpen kecskét rejtő ajtót tud kinyitni. Ez nagy különbség például az Áll az alku néven futó játékhoz képest. Abban a játékban véletlenszerűen választanak táskákat. Abban az esetben csak szerencse kérdése, hogy kinyitják-e a főnyereményt, ott nem módosítja a műsorvezető plusz információja a valószínűséget. Az Áll az alkuban, ha még bent van a játékban a főnyeremény, akkor például 10 meglévő táska esetén 10-10% esélye van annak, hogy egy adott táskában van a főnyeremény.

Ha esetleg a fenti gondolatmenetet olvasva még mindig vitatkozni szeretnél velem a valószínűségek kapcsán, akkor hadd mutassak még egy bizonyítást az igazamra. Vegyük végig, hogy milyen esetek vannak, és hányszor nyersz a váltással.

Előfordulhat, hogy kiválasztod azt az ajtót, ami mögött a versenyautó van. Ennek 1/3 az esélye. Ekkor a műsorvezető kinyit a két kecskés ajtó közül egy ajtót, ami mögött ott van egy kecske. Mindegy, hogy melyiket nyitja ki. Ha most váltasz ajtót, akkor az autóról a kecskére váltasz. Ekkor vesztettél.

A másik eset az, hogy egy olyan ajtót választasz, ami mögött kecske van. Ennek 2/3 az esélye. Ekkor a két ki nem választott ajtó közül van egy kecskés és egy versenyautós. A műsorvezető kénytelen kinyitni a kecskéset, mivel ez a szabály. Ha most váltasz ajtót, akkor kecskéről autóra váltod át a nyereményt. Ekkor nyertél.

Csak ez a két fenti eset van. Az 1/3 valószínűségű esetben vesztesz, a 2/3 valószínűségű esetben nyersz a váltással. Azaz az esetek 2/3-ában a váltással nyersz és csak az 1/3-ában nyersz az eredeti választásod mellett tett hűségesküvel. Megéri váltani!